からの距離と、原点

まで測った角を指定することによって定めることができる。

の組を点

軸とし、の方向を

軸正方向、の方向から反時計回りに回った方向を

の座標をとすると、
，
の関係がある。
また、
，，

の関係がある。のときは、とする。
点

と言う。
通常、極方程式は、，などの形で表す。

---

地球上で、船の位置や、台風の位置を考えるときに、「東経

がいくつ、というように座標を指定するだけでなく、原点からの距離と角で位置を指定する、という、全く異なった見方ができます。これが、極座標です。
右図でわかるように、極座標でであった座標を、直交座標系

のに変換する場合には、
，
という公式を使います。
また、直交座標系

でという座標であったものを、極座標のに変換するときには、
，，
という公式を使います。

a ()

()

()

からの距離がである直線の極方程式：　

切片が正，のとき、

からの距離がである直線の極方程式：　

のとき始線と交わり、のとき始線と交わらない

()

次曲線の極方程式：　

)

---

(1)

a ()

で一定なので、極方程式は、

となります。

()

で一定です。この直線の極方程式は、

となります。

直交座標系において、

という方程式で与えられる直線の極方程式を考えます。
，
を代入すると、
　･･･�@
左辺において、

を行うと、

但し、，
よって、とおけば、直線の極方程式
　･･･�A
が得られます。
�A式は、右図のように、直線�Aが直線と平行で、極

と直線�Aとの距離がであることを示しています。
のとき、より、なので、の符号は、直線の

切片の符号と一致します。

の�@式で正弦の合成ではなく、余弦の合成を行ってみます。
余弦の加法定理：
より、�@を、

但し、，
よって、とおけば、直線の極方程式
　･･･�B
が得られます。
�B式は、右図のように、直線�Bが直線と垂直で、極

と直線�Bとの距離がであることを示しています。
のとき、より、なので、の符号は、直線の

切片の符号と一致します。

直交座標系で、を中心とする半径

の円の方程式は、

となります。
展開して整理すると、

中心が極座標でになったとすると、
，
これを代入し、，，とすると、


これで、円の極方程式

が得られます。
この式は、右図のように、三角形

を適用し、

として得られる式です。

では、準線：は焦点の左側にあって、始線とは交わらず、右図

では、準線：は焦点の右側にあって、始線と交わります。
曲線上の点

を下ろすと、離心率：は、右図

では、

右図

では、

両者まとめて

、準線をとして、曲線の式は、

分母を払って整理すると、　

次曲線の極方程式で、の場合に楕円、の場合に放物線、の場合に双曲線になります。
極方程式：で表される

次曲線の直交座標系における方程式を求めてみます。
分母を払って、
より、
両辺を

乗して、
より、

の場合には、

これは放物線です。
の場合は、左辺を

に関して平方完成し、

両辺をで割ると、
の場合には、

これは楕円です。
の場合には、

これは双曲線です。

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