区間：
において連続かつ微分可能な関数：
のグラフとx軸，直線：
，
とで囲む面積Sを求めてみます。
の原始関数を
とし(つまり、
)、区間：
をn分割し、1個分の幅を
とおきます。
(aから
のk個分進んだ位置)とおくと、幅：
，高さ：
の長方形の面積は、
で与えられます(右図参照)。
を考えると、
より、
(
)をみたす実数cが存在します。
のとき、
，
だから、
は、右上図の長方形の面積を多数集めたものと考えられますが、nを限りなく大きくし、刻み
を限りなく小さくしてゆくと、長方形の面積を加え合わせたものは、面積Sに近づくと考えられます。よって、
の極限において、
･･･(＊)
の場合、(＊)において、
，
，
，
と考えれば、
･･･(＊＊)
記号の前に
が出てくるように、また、
記号の内側が、
に関する式になるように、変形します。
の極限で、
，
，
と変換し、積分の上端、下端については、
：
，
より、
が変換されたxについて、x：
と考えます。
のa，bを上端(upper edge)、下端(lower edge)というのは問題だと思っています。正確には、「端」ではなく区分求積法の「極限」なので、上限(upper limit)、下限(lower limit)と言うべきだと思います。入試問題との間にズレがあって、受験生の混乱を招いているように感じます。
になるとは限りません。
の形の場合には、
：
だから、
より、x：
とすればよく、
になります。
，
，
(区間：
を
等分したということ)，
とした、ということになります。これ以外の考え方も可能ですが避けた方が無難でしょう。
を求める。
記号の前に、
が出てくるように、
記号の内側の分母について、nでくくり、
とすれば、
です。
の極限で、
，
，
，
と変換します。
から始まるので、
は
から始まります。よって、積分の下端は、
より、0とします。
で終わるので、
は
まで行きます。よって、積分の上端は、
より、1とします。
......[答]
を求める。
は、区間
において連続な関数なので、
です。
です。
とみて、1を積分、対数関数を微分に回して部分積分するのが定石です。
とおく(置換積分を参照)と、
より、両辺をxで微分して、
，∴ 
のとき、t：
......[答][ 広告用スペース ]
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