放物線

放物線　　　　関連問題

標準形：

　(

)
放物線の定義：定点(焦点と言う)までの距離と、この定点を通らない定直線(準線と言う)までの距離とが等しい点の集合を放物線と言う。
放物線：

の焦点は

，準線は

放物線の定義から放物線の方程式の標準形を導いてみます。

右図で、焦点をF

，準線を

(

)とし、放物線上の点P

と焦点までの距離

と、準線までの距離

を等しいとおくと、

両辺を2乗して、

∴

放物線：

について、x軸、つまり、直線

を放物線の軸と言います。
放物線の方程式：

を満たす点

に対して、yのところに

を代入しても方程式が成り立ちます。従って、放物線はx軸、つまり、放物線の軸に関して対称です。
放物線の軸と放物線との交点、放物線：

においては、原点O

を頂点と言います。

焦点がy軸上の

にあり、準線が

となる場合は、同様にして、放物線の方程式は、

となります。このときには、放物線の軸はy軸、つまり、直線

，頂点はやはり原点Oです。

放物線：

に接する傾きmの接線を求めてみます。

と連立して、

整理して、

接するので、この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)。
∴

∴

より、

よって、求める傾きmの接線は、

放物線：

に接する傾きmの接線を求めてみます。

と連立して、

整理して、

接するので、この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)。
∴

より、

よって、求める傾きmの接線は、

放物線の方程式：

の両辺を陰関数の微分法で微分すると、

∴

点

における接線の傾きは、

接点

における接線は、

接点

は放物線上の点なので、

より、

よって、接点

における接線は、

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