三角形の垂心   関連問題


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三角形の各頂点から対辺に下ろした3本の垂線は1点で交わる。この点を垂心と言う。

証明 三角形ABCの頂点ABから対辺BCCAに垂線ADBEを下ろし、交点をHとします。
また、
CHの延長とABとの交点をFとします。
四角形
CEHDは、より、対向する内角が補角をなすので、円に内接する四角形です。
同一弦
DHの上に立つ円周角は等しいので、 ・・・@
また、点
D,点Eは、ともに、ABを直径とする円周上の点です。
同一弦
BDの上に立つ円周角は等しいので、()() ・・・A
@,Aより、
また、
(対頂角)
これより、

よって、
従って、三角形の各頂点から対辺に下ろした
3本の垂線は1点で交わります。
(証明終)

上記を、平面ベクトルを使って示すことができます。三角形ABCの頂点ABから対辺BCCAに垂線を下ろし、交点をHとします
より、 
(内積を参照)
 ・・・B
より、
 ・・・C
B+Cより、




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