マクローリン展開　　　　関連問題

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テーラーの定理：として、閉区間で連続、開区間でn回微分可能な関数があるとき、
のときには、，
のときには、，
を満たすcが存在する。

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[証明]　数学的帰納法により証明します。
のときは、テーラーの定理は、(Lagrangeの)平均値の定理と同じです。　･･･(�T)
のとき、命題が成り立つと仮定します。
また、は、閉区間で連続、開区間で回微分可能な関数だとします。
，とすれば、は、閉区間で連続、開区間でn回微分可能な関数です。
従って、のときに命題が成り立つとした仮定により、
　･･･�@，
を満たすcが存在します。
Aを定数として、
　･･･�A
とおくと、

　
　　･･･�B
�@−�Bより、
より、
�Aに代入すると、
，
これは、証明すべき命題の等式で、とした等式です。
よって、のときにも命題は成立します。　･･･(�U)
(�T)，(�U)より、命題が成り立つことが証明されました。
(証明終)
上記では、上記では、として考えましたが、の場合も全く同様です。

テーラーの定理のの項をLagrangeのn次剰余項と言います。

テーラーの定理より、がaを含む区間で何回でも微分可能で、のとき、n次剰余項がとなるとき、つまり、

であるときには、を
　･･･�C
と、無限級数の形に書くことができます。�C式をテーラー展開と言います。
�Cは、aに近いxについて、の近似値を計算するのに使われている公式です。

�C式で、特に、とした式
　･･･�D
をマクローリン展開と言います。大学入試問題のネタとしてしばしば取り上げられている公式です。

�D式を簡単に求めるだけなら、以下のようにすればよいでしょう。
，，･･･，，･･･を実数として、が、　･･･�E　の形に書けたとします(必ず書けるというわけではありません)。
�E式でとして、
�E式を微分すると、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
さらに微分して、
　
を代入すると、
これをずっと繰り返していけば、�D式のように、の係数が、となることがわかります。もちろん、こうできるためには、が無限回、微分できる関数でなければなりません。

例1．のとき、どんな自然数kについても、です。
，より、のマクローリン展開は、

　

例2．のとき、，，，，･･･
よって、，，，，，･･･
つまり、
これより、のマクローリン展開は、

　

例3．のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

　
は偶関数なので、偶数乗の項だけが出てくることに注意してください。

例4．のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

　
は奇関数なので、奇数乗の項だけが出てくることに注意してください。

ここで、例1．ののマクローリン展開において、 (iは虚数単位で)としてみます。

　　　
　
　
これと、例3．，例4．の結果を見比べると、
　･･･�F
と書けることがわかります。
�F式の右辺は、複素数の極形式で出てくる形です。即ち、複素数zについて、，として、zの極形式を、と書くことができます。
�F式をオイラーの公式と言います。
�F式の共役複素数を考えると、として、
　･･･�G
�F＋�Gより、
�F−�Gより、

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