等比数列の極限    関連問題

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のとき、
のとき、
のとき、
のとき、は存在せず、発散する
(振動)

[証明]のとき、 ()とおくと、二項定理より、

のとき、より、

のとき、は自明。
のとき、より、

のとき、は自明。
のとき、より、

のとき、であって、の符号はnが偶数のときに正、nが奇数のときに負、となり、nを大きくしていくときに符号が正負交互に入れ替わるので、数列は振動し、は存在せず、発散する。

1のとき、(1)  (2)
(1)
 (分母、分子をで割る。に着目)
 
(2)  (分母、分子をで割る。だが、は振動する)
極限は存在しない。

2
のとき、分母分子をで割ると、とすると、より、
 
のとき、
のとき、とすると、より、
 
のとき、
 
nが奇数ならば、
 
nが偶数ならば、
 より、のとき振動するので、
Lは存在しない。


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