関数の極限    関連問題

関数において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなくαに近づくとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、
α極限値と言います。
関数において、
xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなく大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、
正の無限大に発散する、と言います。
関数において、
xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、が負の値をとりながら、限りなく絶対値が大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、
負の無限大に発散する、と言います。
xが限りなく大きくなるときには、上記のaを正の無限大∞とします。
xが負の値をとりながら、その絶対値が限りなく大きくなるときには、上記のaを負の無限大とします。
以上のいずれの場合についても、を極限と言います。

関数において、
xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、右側極限、または、右方極限と言います。
というのは、
h0に近づけるという意味です。
関数において、
xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、左側極限、または、左方極限と言います。
というのは、
h0に近づけるという意味です。

 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
です。つまり、右側極限と左側極限が等しい場合にのみ、極限と言います。
右側極限と左側極限が一致しない場合には、極限とは言いません。

,または、とするときに、の値が
1つの値に近づかないこともあります。このようなときには、は振動すると言い、極限は存在しません。

極限の性質
のとき、
khを実数として、
(線形性) 

 
(但し、)
の近傍でであれば、
また、のとき、
khを実数として、
(線形性) 

 
(但し、)
ある実数aについて、のときであれば、
(のときも同様)

1abを実数として、について、
のとき、です。のグラフは右肩上がりの直線です。
のとき、です。のグラフは右肩下がりの直線です。

2abcを実数として、について、
のとき、です。グラフは下に凸な放物線です。
のとき、です。グラフは上に凸な放物線です。

3.一般的に、nが奇数,,・・・,を実数として、について、
です。

nが偶数,,・・・,を実数として、について、
です。

4,または、のとき、は振動するので、は存在しません。

5ですが、です。よって、は存在しません。

6のとき、
のとき、

7のとき、
のとき、

8です。よって、は存在しません。
ですが、です。

9

従って、なら、ですが、
なら、は存在しません。

10 (nは自然数,,・・・,:実数)



 (かつ)
のような関数では、任意の実数aについて、が成立します(関数の連続を参照)
 
(かつ)
の定義域はなので、任意の正数aについて、が成立します。
 
(pは実数)
の定義域はなので、となる実数aについて、が成立します。


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