京大理系数学'99年後期[6]

(1) で連続な関数とする。このとき、
 
となるcが存在することを示せ。
(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体を考える。この立体をy軸に垂直な個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき、に最も近い平面のy座標をとする。このとき、を求めよ。

解答 (1)は積分の平均値の定理です。(2)は、一筋縄ではいきません。解答に幾重にも工夫が必要です。

(1) ()とおきます。
において連続であって、において微分可能で、
平均値の定理より、
となるcが存在します。
よって、
となるcが存在します。

(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積Vは、
ではxyで表すことができないので、により置換積分を行います。
より、
yのときx

 (円筒分割の考え方を用いて直接この式を書くこともできます。y軸のまわりの回転体を参照)

 ・・・@
題意より、
 ・・・A
ここで、として(1)を用い、
 ・・・B
としたいのですが、の具体的な形が書けないので困ります。ですが、なので、
と書くことはできます。
()とおけば、
となります。
こうしてBを、
と書き直すことができます。Aを用いて、
 ・・・C
このままでは、のときにθ がどうなるかわからないので、を用いてはさみうちの形を作ります。Cをθ について解き、
 ()
ここでとすると、はさみうちの原理より、
より、


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