京大理系数学'99年後期[6]

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(1) はで連続な関数とする。このとき、

　

となるcが存在することを示せ。

(2) のの部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体を考える。この立体をy軸に垂直な個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき、に最も近い平面のy座標をとする。このとき、を求めよ。

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解答　(1)は積分の平均値の定理です。(2)は、一筋縄ではいきません。解答に幾重にも工夫が必要です。

(1) ()とおきます。

はにおいて連続であって、において微分可能で、

平均値の定理より、

，

となるcが存在します。

よって、

，

となるcが存在します。

(2) のの部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積Vは、

ではxをyで表すことができないので、により置換積分を行います。
より、，y：のときx：

　(円筒分割の考え方を用いて直接この式を書くこともできます。y軸のまわりの回転体を参照)

　･･･�@

題意より、

　･･･�A

ここで、として(1)を用い、

，　･･･�B

としたいのですが、の具体的な形が書けないので困ります。ですが、なので、

と書くことはできます。

(，)とおけば、

となります。
こうして�Bを、

，

と書き直すことができます。�Aを用いて、

　･･･�C

このままでは、のときにθ がどうなるかわからないので、を用いてはさみうちの形を作ります。�Cをθ について解き、

　()

ここでとすると、，はさみうちの原理より、
より、

∴ ......[答]

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