京都大学理系2021年数学入試問題
[1]　次の各問に答えよ。
問1　xyz空間の3点A，B，Cを通る平面αに関して点Pと対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関してPと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである。
問2　赤玉、白玉、青玉、黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき、n回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただしnは4以上の整数とする。
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[2]　曲線上の点Pにおける接線はx軸と交わるとし、その交点をQとおく。線分PQの長さをLとするとき、Lが取りうる値の最小値を求めよ。
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[3]　無限級数の和を求めよ。
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[4]　曲線のの部分の長さを求めよ。
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[5]　xy平面において、2点B，Cに対し、点Aは次の条件(＊)を満たすとする。
(＊)　かつ点Aのy座標は正。
次の各問に答えよ。
(1) △ABCの外心の座標を求めよ。
(2) 点Aが条件(＊)を満たしながら動くとき、△ABCの垂心の軌跡を求めよ。
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[6]　次の各問に答えよ。
問1　nを2以上の整数とする。が素数ならばnも素数であることを示せ。
問2　aを1より大きい定数とする。微分可能な関数がを満たすとき、曲線の接線で原点を通るものが存在することを示せ。
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