京大理系数学'20年前期[2]
pを正の整数とする。α，βはxに関する方程式の2つの解で、であるとする。
(1) すべての正の整数nに対し、は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。
(2) 極限を求めよ。
解答　東大理系2003年[4]の類題です。(1)は、3項間漸化式の一般項が特性方程式の解s，tを用いて、の形(は定数)に表せること及び数学的帰納法を用いる定型パターンの問題と言ってもよいので、解答の流れを記憶してしまうくらいでよいでしょう。(2)はなのでとなり、問題のままでは考えにくいのですが、の2解α，βについて、2次方程式の解と係数の関係より，となるので、を利用することになります。

さて、2次方程式の解と係数の関係より、，　･･･①
とします。
(1) (Ⅰ) のとき、pが正の整数であることから、は、整数であり偶数です。よって、成立します。
(Ⅱ) のとき、①を用いて、，これは整数であり偶数です。よって、成立します。
(Ⅲ) のとき、のとき、成立すると仮定します。つまり、，が整数であり偶数だと仮定します。
問題文の2次方程式のの代わりに，xの代わりに，定数項を定数項にをかけたものを代入した式を考えます。
　(∵　α，βは2次方程式の解)
よって、もまた、整数であり偶数です。よって、のときも成立します。
(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)より、数学的帰納法によって、すべての正の整数nに対し、は整数であり偶数です。　(証明終)

(2) を利用するために、をを使って表すことを考えます。より、
(1)よりは偶数なので、，，よって、
ここで、 ()の形(極限の公式を参照)が出てくるように変形します。
①より、，より、，よって、のとき、，
これより、 ......[答]


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