京大理系数学'13[6]

投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する。
(1) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標xの点にある確率を求めよ。
(2) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、回硬貨を投げたとき、石が座標の点にある確率を求めよ。

解答 あまりに単純すぎて受験生が試験会場で懐疑的になり、かえって難問になったのではないか、という気さえする確率の問題です。

(1) 右図より、石が座標xの点にあるとき、2回硬貨を投げて、座標xの点に来るのは、表表と出るか、裏裏と出る場合で、その確率は、
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(2) (1)の樹形図より、石が座標xの点にあるとき、2回硬貨を投げて、
(i) 表裏と出ると、に移動(事象Aとします)し、
(ii) 表表、または、裏裏と出ると、xに留まり(事象Bとします)
(iii) 裏表と出ると、に移動します。
石が原点にあるとき、回硬貨を投げると、最も進むとき(事象An回起こる)で座標がの点まで進みます。
回硬貨を投げて座標の点まで来るのは、事象
A回、事象B1回起こるときです。求める確率(反復試行の確率を参照)は、
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