京大理系数学'13[4]

におけるの最大値を求めよ。ただしおよびが成り立つことは証明なしに用いてよい。

解答 数値の評価があるとはいえ、平凡な微分の問題です。


 (微分の公式を参照)
とすると、においては、

これで、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)
x


00
なので、です。
従って、より、方程式の範囲にただ一つの解α ()をもちます。また、より、方程式の範囲にただ一つの解β (,実はです)をもちます。
結局、方程式は、の範囲に、
3つの解、α0βをもちます。
こうして次の増減表が得られます。
x
α
0
β
000
1
1を比較すると、
よって、求める最大値は ......[]


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