京大理系数学'13[3]

nを自然数とし、整式を整式で割った余りをとする。このときabは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。

解答 ちょっと見た目には難問か?という感じがしないでもないですが、やってみると易問です。以前の重厚な京大数学の面影は微塵もありません。

整式を整式で割ると、
2次式で割るので、余りは1次式です。商を,余りをとします(多項式の除算を参照)
ここでは、2次方程式の解 (とおきます)を代入してみるのが定石です。

より、
こうして、本問は、2次方程式を利用した次数下げの問題に帰着します。
以下、
数学的帰納法により証明します。
(T) のとき、より、です。ともに整数で、10をともに割り切る素数は存在しないので、題意は成立します。
(U) のとき、とおけて、がともに整数であり、かつ、をともに割り切る素数は存在しないと仮定(これは、数学的帰納法の仮定です)します。
 ( )
従って、を、
 ・・・@
となるように決めれば、とおくことができます。
また、@より、は整数です。ここで、をともに割り切るような素数
pが存在すると仮定(これは、背理法の仮定です)すると、 (mは整数)とおくことができます。@より、

もともに素数pで割り切れることになり、数学的帰納法の仮定に反します。よって、「をともに割り切るような素数pが存在する」とした仮定は誤りで、をともに割り切るような素数pは存在しません。
(T)(U)より、nを自然数として、整式を整式で割った余りをとすると、abは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しません。


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