京大理系数学'12年[2]
正四面体OABCにおいて、点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる。ただし、P，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ。
解答　空間ベクトルを用いて解決します。

OABCが正四面体であることから、
(とおきます)，　･･･①　(内積を参照)
，，として、，，とおくことができます。

より、
かつ
∴ かつ
” または ” かつ ” または ”
これより、以下の3通りの場合があり得ます。
(i) のとき、
，，
より、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行です。
(ii) かつ のとき、
となり、OとQが一致するので題意に反します。
(iii) かつ のとき、
となり、OとRが一致するので題意に反します。
以上より、証明されました。(証明終)

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