京大理系数学'12[2]

正四面体OABCにおいて、点PQRをそれぞれ辺OAOBOC上にとる。ただし、PQRは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行であることを証明せよ。

解答 空間ベクトルを用いて解決します。

OABCが正四面体であることから、
(とおきます) ・・・@ (内積を参照)
として、とおくことができます。

より、
かつ
かつ
または かつ または
これより、以下の
3通りの場合があり得ます。
(i) のとき、
より、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行です。
(ii) かつ のとき、
となり、OQが一致するので題意に反します。
(iii) かつ のとき、
となり、ORが一致するので題意に反します。
以上より、証明されました。(証明終)


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