京大理系数学'12[1]

次の各問いに答えよ。
(1) aが正の実数のときを求めよ。
(2) 定積分の値を求めよ。

解答 極限と積分計算の基本問題です。

(1) に場合分けして考えます。
(i) のとき、,つまり、となるようなnについて、

各辺をnで割って、
ここで、とすると、
よって、
はさみうちの原理より、
において連続な関数なので、
(ii) のとき、 (の場合に含まれます)
(iii) のとき、
ここで、とすると、
よって、はさみうちの原理より、
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(2)  (部分積分法を参照)

とおくと、xのとき、θ (置換積分を参照)

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