京都大学理系2012年数学入試問題
[1]　次の各問いに答えよ。
(1) aが正の実数のときを求めよ。
(2) 定積分の値を求めよ。
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[2]　正四面体OABCにおいて、点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上にとる。ただし、P，Q，Rは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ，QR，RPはそれぞれ3辺AB，BC，CAに平行であることを証明せよ。
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[3]　実数x，yが条件を満たしながら動くとき
がとりうる値の範囲を求めよ。
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[4](1) が無理数であることを証明せよ。
(2) は有理数を係数とするxの多項式で、を満たしているとする。このときはで割り切れることを証明せよ。
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[5]　次の命題(p)，(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) 正n角形の頂点から3点を選んで内角の1つがである三角形を作ることができるならば、nは3の倍数である。
(q) △ABCと△ABDにおいて、かつならば、である。
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[6]　さいころをn回投げて出た目を順に，，･･･，とする。さらに、
， ()
によって，，･･･，を定める。
となる確率を求めよ。
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