京大理系数学'10[6]

n個のボールを個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をとする。このとき、極限値を求めよ。

解答 は、多数の項の積の対数になるので、対数の和の形となり、区分求積法の利用が見えてきます。

全事象は、
n個のボールの各1個について通りの箱の選び方があるので、通りです。
n個のボールを個の箱へ投げ入れるとき、どの箱にも1個以下のボールしか入っていないのは、個の箱のうちのn個の箱に1個ずつボールが入る場合です。
1個目のボールは、通りの箱の選び方があります。
2個目のボールは、1個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
3個目のボールは、1個目のボール、2個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
 ・・・・・・

n個目のボールは、1個目のボール、2個目のボール、・・・、個目のボールが入った箱を除く通りの箱の選び方があります。
これより、
n個のボールの入れ方は、通りあります。
どの箱にも
1個以下のボールしか入っていない確率は、



 (区分求積法を参照)
 (不定積分の公式を参照)

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