京大理系数学'10[5]

次の問いに答えよ。
(1) nを正の整数、とする。で割り切れるがでは割り切れないことを示せ。
(2) mを正の偶数とする。で割り切れるならばまたはであることを示せ。

解答 (1)は、のときの倍数、のときはの倍数(2の倍数)のときはの倍数(2の倍数)、という具合になっています。の場合からの場合に行くときに、因数分解すれば2の倍数が出てくる、というわけで、数学的帰納法の枠組に乗せることができます。なお、整数を参照してください。

(1) 数学的帰納法により示します。
(T) のとき、で割り切れますがでは割り切れないので、題意は成立します。
(U) のとき、題意が成立し、として、で割り切れるがでは割り切れないと仮定します。
すると、pを奇数として、
 ・・・@
とおくことができます。
さて、とすると、

 ( @)
pは奇数なので、で割り切れますがでは割り切れません。
よって、のときも題意は成立します。
(T)(U)より、nを正の整数、として、で割り切れるがでは割り切れないことが示されました。

(2) qを正の奇数,nを正の整数として、正の偶数mとします。
(1)より、とすると、で割り切れるがでは割り切れないので、pを奇数として、
とおくことができます。より、
中カッコ内は、,・・・,1はいずれも奇数で、奇数個(q)の奇数の和なので奇数です。
pと中カッコ内が奇数なので、で割り切れますがでは割り切れません。題意より、で割り切れるので、2の指数mに関して、
 ・・・A
が成立します。においては、
 (二項定理を参照)
であって、qは正の奇数なので、ではAを満たす正の整数nは存在しません。また、のときには、すべての正整数nについてとなり、Aを満たす正の整数nは存在しません。
よって、Aを満たす
nは、のときののみで、このときmは、
または
に限られます。


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