京大理系数学'10[4]

とする。3辺の長さがabである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。

解答 正弦定理と余弦定理を組み合わせただけの問題ですが、「鋭角三角形」という指定に注意が必要です。

長さ
abの辺と向かい合っている角をABCとすると、正弦定理より、
 ・・・@
鋭角三角形なので、より、


同様に、
@とよりは満たされていますが、
Bについても、より、
 ・・・A
余弦定理より、

この左辺をとおくと、より、

これよりb2次方程式1解、1解を持ちます(2次方程式の解の配置を参照)が、Aより、鋭角三角形になるためには、となる解、即ち、大きい方の解だけが許されます。
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