京大理系数学'09[5]

xy平面上で原点を極、x軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式 ()により表される曲線をCとする。Cx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

解答 単なる微積の計算問題です。この問題は落とせません。

曲線
Cは右図のような形をしています。
曲線
C上の点の座標は、xy座標系で、
 ・・・@
 ・・・A
と表せます(極座標を参照)。@より、
より、θ 0からπまで動くと、1からまで動き、x3からまで単調に減少します。
従って、求める体積
Vは、
 (x軸のまわりの回転体を参照)
で与えられます。@を用いて、xの積分をθ の積分に変える(置換積分を参照)と、@より、
 (積の微分法を参照)
xのとき、θ
Aより、




 (偶数乗のところは消える)

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