京大理系数学
'09
年
乙
[4]
を
をみたす行列とする
(
a
,
b
,
c
,
d
は実数
)
。自然数
n
に対して平面上の点
を
により定める。
と
の長さが
1
のとき、すべての
n
に対して
の長さが
1
であることを示せ。ここで
O
は原点である。
解答
ベクトルの大きさを変えない
1
次変換
(
直交変換と言います。直交変換については、
1
次変換その
2
を参照
)
は、回転変換
(
行列式が
1)
と鏡映変換
(
行列式が
)
に限られる、という、
慶大理工
'09[B1]
と同一テーマの問題です。京大の本問では、
という条件がついているので回転変換になります。また、そのほか、スタートが
なので、
x
軸方向に長さを変えない
1
次変換
(
固有値
に対する固有ベクトルが
)
も条件をみたします。
より、
・・・@
より、
(
∵
@
)
∴
(
∵
)
∴
または
(i)
のとき、
@より、
また、
より、
(
複号同順
)
つまり、
,または、
(
b
は任意の実数
)
前者では、
後者では、
いずれにしても、
です。
(ii)
のとき、
@より、
,
とおくことができます。よって、
・・・A
A
,
B
を実数として、
・・・B ただし、
であれば、
,
Bが
θ
に関わらず成立するためには、
,つまり、
よって、Aより、
・・・C
・・・D
Cより、
と
は直交する
(
内積
を参照
)
ので、
とおくことができます。
Dより、
,
∴
,または、
前者では、
これは、
より条件をみたしています。
行列
A
は原点の回りに反時計回りに角
θ
回転する
1
次変換を表す行列なので、ベクトル
の大きさは
の大きさと同じで
1
です。よって、
です。
後者では、
これは、
となり条件をみたしません
(
ですが、このときも
です
)
。
以上より、
と
の長さが
1
のとき、すべての
n
に対して
の長さは
1
です。
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