京大理系数学
'09
年
甲
[5]
p
を素数、
n
を正の整数とするとき、
は
p
で何回割り切れるか。
解答
例えば
として考えてみます。
には
3
が
1
つ含まれているので、
で
1
回割り切れます。
の中の
3
の倍数は
3
,
6
,
9
で、素因数分解したとき、
3
と
6
には
3
が
1
つ含まれ、
9
には
3
が
2
個含まれるので、
を素因数分解すると
3
の指数は
4
になり、
は
で
4
回割り切れます。
の中の
3
の倍数は
3
,
6
,
9
,
12
,
15
,
18
,
21
,
24
,
27
で、このうち、
3
,
6
,
12
,
15
,
21
,
24
の中には
3
が
1
つ含まれ、素因数分解したとき、
9
,
18
の中には
3
が
2
個含まれ、
27
の中には
3
が
3
個含まれるので、
を素因数分解すると
3
の指数は
となり、
は
で
13
回割り切れます。
つまり、
の場合、
1
から
までの数の中に
p
の倍数、
の倍数、
の倍数が何個あるかを調べて行くことになります。
のときの検討を見ると、
の倍数を
の倍数に含め、
の倍数を
p
の倍数に含めて、
1
から
27
の中に、
3
の倍数が
個,
の倍数が
個,
の倍数が
1
個あるので、
として、
3
で
13
回割り切れる、というように考えられることがわかります。従って、本問では、以下のように解答できるでしょう。
1
から
の中に、
(
)
の倍数は、
個あります。
を素因数分解したときの
p
の指数は
,
,・・・,
(
)
の和になるので、
p
で割り切れる回数は、
回
......[
答
]
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