京大理系数学'09[2]

平面上に三角形と点を、に対してが辺に関して対称になるようにとる。の面積がの面積の正の整数倍となるとき、の値を求めよ。

解答 ちょっと見た目に複雑そうに見えますが、3倍角の公式で解決します。

 
()とすると、右図のように、となります。
面積は、
より、の面積は、

kを正の整数として、より、
より(三角関数の諸公式を参照)
()で両辺を割ると、
または
 ・・・@ または  ・・・A
より、@では,Aでは
よって、@では,Aでは
より、@では,Aではに限られます。
以上より、
より、

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