京大理系数学'08[6]

地球上の北緯東経の地点をA,北緯東経の地点をBとする。AからBに向かう2種類の飛行経路を考える。は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。は地球の大円に沿った経路のうち飛行距離の短い方とする。に比べては飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また必要があれば、この冊子の5ページと6ページの三角関数表を用いよ。
注:大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。

三角関数表
(1)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
0.0°0.0000 1.0000 0.0000
22.5°0.3827 0.9239 0.4142
0.5°0.0087 1.0000 0.0087
23.0°0.3907 0.9205 0.4245
1.0°0.0175 0.9998 0.0175
23.5°0.3987 0.9171 0.4348
1.5°0.0262 0.9997 0.0262
24.0°0.4067 0.9135 0.4452
2.0°0.0349 0.9994 0.0349
24.5°0.4147 0.9100 0.4557
2.5°0.0436 0.9990 0.0437
25.0°0.4226 0.9063 0.4663
3.0°0.0523 0.9986 0.0524
25.5°0.4305 0.9026 0.4770
3.5°0.0610 0.9981 0.0612
26.0°0.4384 0.8988 0.4877
4.0°0.0698 0.9976 0.0699
26.5°0.4462 0.8949 0.4986
4.5°0.0785 0.9969 0.0787
27.0°0.4540 0.8910 0.5095
5.0°0.0872 0.9962 0.0875
27.5°0.4617 0.8870 0.5206
5.5°0.0958 0.9954 0.0963
28.0°0.4695 0.8829 0.5317
6.0°0.1045 0.9945 0.1051
28.5°0.4772 0.8788 0.5430
6.5°0.1132 0.9936 0.1139
29.0°0.4848 0.8746 0.5543
7.0°0.1219 0.9925 0.1228
29.5°0.4924 0.8704 0.5658
7.5°0.1305 0.9914 0.1317
30.0°0.5000 0.8660 0.5774
8.0°0.1392 0.9903 0.1405
30.5°0.5075 0.8616 0.5890
8.5°0.1478 0.9890 0.1495
31.0°0.5150 0.8572 0.6009
9.0°0.1564 0.9877 0.1584
31.5°0.5225 0.8526 0.6128
9.5°0.1650 0.9863 0.1673
32.0°0.5299 0.8480 0.6249
10.0°0.1736 0.9848 0.1763
32.5°0.5373 0.8434 0.6371
10.5°0.1822 0.9833 0.1853
33.0°0.5446 0.8387 0.6494
11.0°0.1908 0.9816 0.1944
33.5°0.5519 0.8339 0.6619
11.5°0.1994 0.9799 0.2035
34.0°0.5592 0.8290 0.6745
12.0°0.2079 0.9781 0.2126
34.5°0.5664 0.8241 0.6873
12.5°0.2164 0.9763 0.2217
35.0°0.5736 0.8192 0.7002
13.0°0.2250 0.9744 0.2309
35.5°0.5807 0.8141 0.7133
13.5°0.2334 0.9724 0.2401
36.0°0.5878 0.8090 0.7265
14.0°0.2419 0.9703 0.2493
36.5°0.5948 0.8039 0.7400
14.5°0.2504 0.9681 0.2586
37.0°0.6018 0.7986 0.7536
15.0°0.2588 0.9659 0.2679
37.5°0.6088 0.7934 0.7673
15.5°0.2672 0.9636 0.2773
38.0°0.6157 0.7880 0.7813
16.0°0.2756 0.9613 0.2867
38.5°0.6225 0.7826 0.7954
16.5°0.2840 0.9588 0.2962
39.0°0.6293 0.7771 0.8098
17.0°0.2924 0.9563 0.3057
39.5°0.6361 0.7716 0.8243
17.5°0.3007 0.9537 0.3153
40.0°0.6428 0.7660 0.8391
18.0°0.3090 0.9511 0.3249
40.5°0.6494 0.7604 0.8541
18.5°0.3173 0.9483 0.3346
41.0°0.6561 0.7547 0.8693
19.0°0.3256 0.9455 0.3443
41.5°0.6626 0.7490 0.8847
19.5°0.3338 0.9426 0.3541
42.0°0.6691 0.7431 0.9004
20.0°0.3420 0.9397 0.3640
42.5°0.6756 0.7373 0.9163
20.5°0.3502 0.9367 0.3739
43.0°0.6820 0.7314 0.9325
21.0°0.3584 0.9336 0.3839
43.5°0.6884 0.7254 0.9490
21.5°0.3665 0.9304 0.3939
44.0°0.6947 0.7193 0.9657
22.0°0.3746 0.9272 0.4040
44.5°0.7009 0.7133 0.9827
22.5°0.3827 0.9239 0.4142
45.0°0.7071 0.7071 1.0000


三角関数表(2)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
正弦(sin)余弦(cos)正接(tan)
45.0°0.7071 0.7071 1.0000
67.5°0.9239 0.3827 2.4142
45.5°0.7133 0.7009 1.0176
68.0°0.9272 0.3746 2.4751
46.0°0.7193 0.6947 1.0355
68.5°0.9304 0.3665 2.5386
46.5°0.7254 0.6884 1.0538
69.0°0.9336 0.3584 2.6051
47.0°0.7314 0.6820 1.0724
69.5°0.9367 0.3502 2.6746
47.5°0.7373 0.6756 1.0913
70.0°0.9397 0.3420 2.7475
48.0°0.7431 0.6691 1.1106
70.5°0.9426 0.3338 2.8239
48.5°0.7490 0.6626 1.1303
71.0°0.9455 0.3256 2.9042
49.0°0.7547 0.6561 1.1504
71.5°0.9483 0.3173 2.9887
49.5°0.7604 0.6494 1.1708
72.0°0.9511 0.3090 3.0777
50.0°0.7660 0.6428 1.1918
72.5°0.9537 0.3007 3.1716
50.5°0.7716 0.6361 1.2131
73.0°0.9563 0.2924 3.2709
51.0°0.7771 0.6293 1.2349
73.5°0.9588 0.2840 3.3759
51.5°0.7826 0.6225 1.2572
74.0°0.9613 0.2756 3.4874
52.0°0.7880 0.6157 1.2799
74.5°0.9636 0.2672 3.6059
52.5°0.7934 0.6088 1.3032
75.0°0.9659 0.2588 3.7321
53.0°0.7986 0.6018 1.3270
75.5°0.9681 0.2504 3.8667
53.5°0.8039 0.5948 1.3514
76.0°0.9703 0.2419 4.0108
54.0°0.8090 0.5878 1.3764
76.5°0.9724 0.2334 4.1653
54.5°0.8141 0.5807 1.4019
77.0°0.9744 0.2250 4.3315
55.0°0.8192 0.5736 1.4281
77.5°0.9763 0.2164 4.5107
55.5°0.8241 0.5664 1.4550
78.0°0.9781 0.2079 4.7046
56.0°0.8290 0.5592 1.4826
78.5°0.9799 0.1994 4.9152
56.5°0.8339 0.5519 1.5108
79.0°0.9816 0.1908 5.1446
57.0°0.8387 0.5446 1.5399
79.5°0.9833 0.1822 5.3955
57.5°0.8434 0.5373 1.5697
80.0°0.9848 0.1736 5.6713
58.0°0.8480 0.5299 1.6003
80.5°0.9863 0.1650 5.9758
58.5°0.8526 0.5225 1.6319
81.0°0.9877 0.1564 6.3138
59.0°0.8572 0.5150 1.6643
81.5°0.9890 0.1478 6.6912
59.5°0.8616 0.5075 1.6977
82.0°0.9903 0.1392 7.1154
60.0°0.8660 0.5000 1.7321
82.5°0.9914 0.1305 7.5958
60.5°0.8704 0.4924 1.7675
83.0°0.9925 0.1219 8.1443
61.0°0.8746 0.4848 1.8040
83.5°0.9936 0.1132 8.7769
61.5°0.8788 0.4772 1.8418
84.0°0.9945 0.1045 9.5144
62.0°0.8829 0.4695 1.8807
84.5°0.9954 0.0958 10.385
62.5°0.8870 0.4617 1.9210
85.0°0.9962 0.0872 11.430
63.0°0.8910 0.4540 1.9626
85.5°0.9969 0.0785 12.706
63.5°0.8949 0.4462 2.0057
86.0°0.9976 0.0698 14.301
64.0°0.8988 0.4384 2.0503
86.5°0.9981 0.0610 16.350
64.5°0.9026 0.4305 2.0965
87.0°0.9986 0.0523 19.081
65.0°0.9063 0.4226 2.1445
87.5°0.9990 0.0436 22.904
65.5°0.9100 0.4147 2.1943
88.0°0.9994 0.0349 28.636
66.0°0.9135 0.4067 2.2460
88.5°0.9997 0.0262 38.188
66.5°0.9171 0.3987 2.2998
89.0°0.9998 0.0175 57.290
67.0°0.9205 0.3907 2.3559
89.5°1.0000 0.0087 114.59
67.5°0.9239 0.3827 2.4142
90.0°1.0000 0.0000 ------


解答 実質的に甲[6]の問題と同一問題です。

地球の半径を
Rとします。
北緯で地球を切った切り口の円
(右図で橙色の円)とします。地球上の2ABはいずれも北緯なので、上の点です。また、の半径は、です。
ABを通る大円をとします。ABは当然上の点です。また、地球の中心を通る平面で切った切り口の円(右図で水色の円)なので、の半径はRです。
右下図のように、
ABで交差させるように同一平面上に描けば、は明らかです。
地軸
(北極と南極を結ぶ線分)を含む平面との交点をPとして、より、
 (弧長の公式は、一般角を参照) 
ABは円の半径に等しくです。
地球の中心を
Oとして、∠AOBθ とおくと、θ は鋭角で、三角形AOBにおいて余弦定理より、
であって、三角関数表で、より、より、
よって、に比べては飛行距離が3%以上短くなります。


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