京大理系数学'08[4]

定数aは実数であるとする。関数のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

解答 式変形により[4]の問題に帰着します。

 ・・・@
 ・・・A
@,Aを連立すると、

よって、

 ・・・B
 ・・・C または、 ・・・D
2次方程式Cの判別式: 
2次方程式Dの判別式: 
2次方程式Cは、のときに、相異なる2実数解、のときに実数の重解をもち、のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)
2次方程式Dは、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。

の場合に、B,Dに共通解があるかどうか調べます。
3−Dとして、

B,Dに共通解があるとすれば、これが共通解です。
Cに代入すると、


 (です)
(i) のとき、
C:
D:
よって、Bは、3実数解を持ちます。
(ii) のとき、
C:
D:
よって、Bは、3実数解を持ちます。
(i)(ii)以外のaについては、C,Dが共通解を持つことはありません。

以上より、@,Aのグラフの共有点の個数は、

のとき、4
のとき、3
のとき、2 ......[]


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