京大理系数学'08[6]

空間内に原点Oを中心とした半径1の球面Sを考え、S上の2点をABとする。で与えられる平面でSを切った切り口の円において、ABを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする。また3OABを通る平面でSを切った切り口の円において、ABを結ぶ弧のうち短い方の長さをとする。このときを証明せよ。

解答 複雑そうに見えますが、2つの円を同一平面上に描いてしまえば、明らかです。

平面
Sを切った切り口の円(右図で橙色の円)とします。S上の2ABはいずれもz座標がなので、上の点です。また、の半径は、です。
3OABを通る平面でSを切った切り口の円(右図で水色の円)とします。ABは当然上の点です。また、Sの中心を通る平面で切った切り口の円なので、の半径は1です。
右下図のように、
ABで交差させるように同一平面上に描けば、は明らかですが、ここでは計算してみます。
 (空間座標を参照)
よって、平面z軸との交点Pとして、PAPBABより、∠APB
 (弧長の公式は、一般角を参照)
また、∠AOBθ とおくと、θ は鋭角で、三角形AOBにおいて余弦定理より、
()より、

 (証明終)


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