京大理系数学'08[5]

次の式で与えられる底面の半径が2,高さが1の円柱Cを考える。
    

xy平面上の直線を含み、xy平面との角をなす平面のうち、点を通るものをHとする。円柱Cを平面Hで二つに分けるとき、点を含む方の体積を求めよ。

解答 どんな問題集にも載っているようなタイプの求積問題です。定積分と体積を参照してください。

体積を求める立体を
Kとします。右図でクリーム色の平面Hの下側の部分になります。
Ky軸に垂直な平面 ()で切ると、右図のように、断面は長方形R (右図橙色の部分)になります。
平面
Hyz平面に垂直な方向から眺めると、yz平面上の直線に重なって見えます。
のとき、となるので、
Rの縦の長さはです。
立体を
xy平面に垂直な方向から眺めると、円柱のふちは、円:に重なって見えます。のとき、となるので、Rの横の長さはです。
よって、長方形
Rの面積は、
求める体積Vは、の範囲に立体が存在するので、
は、とおくと(置換積分を参照),両辺を微分して(陰関数の微分法を参照)kのとき、t
は、右図の緑色部分の面積に等しく(は、円の部分です)
 (置換積分(その2)を参照)
よって、
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