京大理系数学
'08
年
甲
[2]
正四面体
ABCD
を考える。点
P
は時刻
0
では頂点
A
に位置し、
1
秒ごとにある頂点から他の
3
頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻
0
から時刻
n
までの間に、
4
頂点
A
,
B
,
C
,
D
のすべてに点
P
が現れる確率を求めよ。ただし
n
は
1
以上の正数とする。
解答
難問ではありませんが、こういう問題では、必ず、
n
の小さい場合の確率を別の方法で求めて検算を心がけるようにしましょう。なお、
確率
を参照してください。
余事象
を考えます。
4
頂点
A
,
B
,
C
,
D
のすべてに点
P
が現れる事象の余事象は、
2
頂点だけに現れる事象と
3
頂点だけに現れる事象の
和事象
です。
(i)
点
P
が
2
頂点だけに現れる場合
A
と
B
だけに現れる事象と、
A
と
C
だけに現れる事象と、
A
と
D
だけに現れる事象の確率は同じなので、
A
と
B
だけに現れる場合を考えます。
A
と
B
だけに現れる、ということは、点
P
は、
A
と
B
を交互に行ったり来たりする、ということです。
A
にいるときに
B
に行く確率は
,
B
にいるときに
A
に行く確率も
従って、時刻
n
まで、
A
と
B
だけに現れる確率は、
A
と
C
だけ、
A
と
D
だけの場合を合わせて、
(ii)
点
P
が
3
頂点だけに現れる場合
A
と
B
と
C
に現れる事象、
A
と
C
と
D
に現れる事象、
A
と
D
と
B
に現れる事象の確率は同じなので、
A
と
B
と
C
に現れる事象を考えます。
A
と
B
と
C
に現れる、ということは、
A
にいるときには、
B
または
C
のいずれか
(
確率
)
にしか行かず、
B
にいるときには
C
または
A
のいずれか
(
確率
)
にしか行かず、
C
にいるときには
A
または
B
のいずれか
(
確率
)
にしか行きません。
但し、時刻
n
までで、
A
と
B
と
C
に現れる事象の確率を
とすることはできません。なぜなら、この
の中には、
A
と
B
だけを往復する場合と、
A
と
C
だけを往復する場合が含まれているからです。
Aと
B
と
C
のすべてに点
P
が現れる確率は、
から往復する場合を
2
通り引いて、
A
と
C
と
D
,
A
と
D
と
B
の場合も合わせて、
以上より、求める確率は、
......[
答
]
のとき、
4
頂点
A
,
B
,
C
,
D
のすべてに点
P
が現れる確率は、
B
,
C
,
D
,
3
文字の順列が
通り、全事象は、各時刻に
3
通りの行き方があるので、
通りで、
です。上の答で、
とすると、
です。
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