京大理系数学'08[2]

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻nまでの間に、4頂点ABCDのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただしn1以上の正数とする。

解答 難問ではありませんが、こういう問題では、必ず、nの小さい場合の確率を別の方法で求めて検算を心がけるようにしましょう。なお、確率を参照してください。

余事象を考えます。4頂点ABCDのすべてに点Pが現れる事象の余事象は、2頂点だけに現れる事象と3頂点だけに現れる事象の和事象です。
(i) P2頂点だけに現れる場合
ABだけに現れる事象と、ACだけに現れる事象と、ADだけに現れる事象の確率は同じなので、ABだけに現れる場合を考えます。
ABだけに現れる、ということは、点Pは、ABを交互に行ったり来たりする、ということです。AにいるときにBに行く確率はBにいるときにAに行く確率も
従って、時刻
nまで、ABだけに現れる確率は、
ACだけ、ADだけの場合を合わせて、
(ii) P3頂点だけに現れる場合
ABCに現れる事象、ACDに現れる事象、ADBに現れる事象の確率は同じなので、ABCに現れる事象を考えます。
ABCに現れる、ということは、Aにいるときには、BまたはCのいずれか(確率)にしか行かず、BにいるときにはCまたはAのいずれか(確率)にしか行かず、CにいるときにはAまたはBのいずれか(確率)にしか行きません。
但し、時刻
nまでで、ABCに現れる事象の確率をとすることはできません。なぜなら、このの中には、ABだけを往復する場合と、ACだけを往復する場合が含まれているからです。
Aと
BCのすべてに点Pが現れる確率は、から往復する場合を2通り引いて、
ACDADBの場合も合わせて、
以上より、求める確率は、 ......[]
のとき、4頂点ABCDのすべてに点Pが現れる確率は、BCD3文字の順列が通り、全事象は、各時刻に3通りの行き方があるので、通りで、です。上の答で、とすると、です。


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