京大理系数学'08[1]

直線が関数のグラフと共有点を持たないためにpqが満たすべき必要十分条件を求めよ。

解答 対数の底はe ()とします。微分法の方程式への応用を参照してください。

において、関数を考えると、
直線と関数のグラフが共有点を持たない
直線と関数のグラフが共有点を持たない
ということになります。

 (微分の公式を参照)
(i) のとき、より、,つまり、単調増加です。
より、においての値は全実数をとります。
従って、
qがいかなる実数であっても、となる正数xが必ず存在し、直線と関数のグラフは共有点を持ち、直線と関数のグラフは共有点を持ちます。
(ii) のとき、とすると、
x0

×0
×

増減表より、において最大値:を持つ(関数の増減を参照)ので、
であれば、直線と関数のグラフは共有点を持ち、
であれば、直線と関数のグラフは共有点を持たず、直線と関数のグラフも共有点を持ちません。
以上より、求める必要十分条件は、
,かつ、
......[]


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