京大理系数学'07年前期乙[6]

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数を満たし、さらに任意の実数abに対してであって、
   
を満たしている。

(1) 任意の実数aに対して、であることを証明せよ。
(2) のグラフはで上に凸であることを証明せよ。

解答 すべての実数で定義され何回でも微分できる関数というのは、も、も、2次以上の全ての導関数がすべての実数xにおいて連続である、ということです。この問題では、なかなか有効な条件です。

 ・・・@

(1) を満たす実数bが存在すると仮定します。@より、任意の実数aについて、
となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません(背理法については、証明の技巧を参照)
また、を満たす実数
bが存在すると仮定します。@より、任意の実数aについて、
となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません。
以上より、任意の実数
xに対して、かつかつであって、題意より関数がすべての実数において連続であることから、任意の実数aに対して、
(証明終)

(2) 導関数の定義を考えてみます。任意の実数aに対して、として、

なぜなら、
(においては連続)
だからです。
以上より、の導関数は、
 ・・・A
がすべての実数において何回でも微分可能なことから、A両辺をxで微分すると、
 ・・・B
(1)より、すべての実数xにおいて、だから、Aより、であって、単調増加な関数です。
従って、においては、
よって、Bより、において、
つまり、のグラフはで上に凸になります
(関数の凹凸を参照)
(証明終)

追記 Aを使うとを求めることができます(微分方程式を参照)
より、




より、

( )


は、双曲線関数と呼ばれる関数の一つです。種々の関数のグラフ(4)の例7.を参照してください。


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