京大理系数学'07年前期乙[5]

A2次の正方行列とする。列ベクトルに対し、列ベクトル,・・・を
    
()
によって定める。あるゼロベクトルではないについて、3以上の自然数mで初めてと一致するとき、行列は単位行列であることを示せ。

解答 行列が出てくるので、ハミルトン・ケーリーの定理で次数下げを行うか、固有値・固有ベクトルを考えるかです。固有値では、という条件を扱いにくいので、次数下げを考えることにします。

まず、行列
Aのべき乗が、行列A1次式で表せること、つまり、k2以上の整数として、を、
 
(E2次の単位行列、は実数)
という形に表わせる ・・・() ことを、数学的帰納法で示します。
(T) のとき、として、ハミルトン・ケーリーの定理により、
 (O2次の零行列)
よって、
として、 
(は実数、高校の範囲では行列の成分は実数です)と表せます。
(U) のとき、 (は実数)と表せるとして、

(T)より、
よって、とすれば、は実数で、これより、

と表せます。
(T)(U)より、2以上の整数kについて、と表せます。

()より、 ・・・@ と表せます。
から、
 ・・・A


(i) のとき、
両辺にAをかけて、
 ・・・B
以後、くり返し
Aをかけることにより、

であり、は実数なので、
このときBより、となり、という条件に矛盾します。よって、この場合は不適です。
(ii) のとき、Aより、
より、
@より、

以上より、行列は単位行列です。


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