京大理系数学'07年前期乙[5]

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Aを2次の正方行列とする。列ベクトルに対し、列ベクトル，，･･･を
　　　　()
によって定める。あるゼロベクトルではないについて、3以上の自然数mで初めてがと一致するとき、行列は単位行列であることを示せ。

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解答　行列が出てくるので、ハミルトン・ケーリーの定理で次数下げを行うか、固有値・固有ベクトルを考えるかです。固有値では、という条件を扱いにくいので、次数下げを考えることにします。

まず、行列Aのべき乗が、行列Aの1次式で表せること、つまり、kを2以上の整数として、を、
　(Eは2次の単位行列、，は実数)
という形に表わせる　･･･(＊)　ことを、数学的帰納法で示します。

(�T) のとき、として、ハミルトン・ケーリーの定理により、

　(Oは2次の零行列)
よって、
，として、　(，は実数、高校の範囲では行列の成分は実数です)と表せます。

(�U) のとき、 (，は実数)と表せるとして、

(�T)より、
よって、，とすれば、，は実数で、これより、

と表せます。

(�T)，(�U)より、2以上の整数kについて、と表せます。

(＊)より、　･･･�@　と表せます。
から、
　･･･�A

(i) のとき、

両辺にAをかけて、
　･･･�B
以後、くり返しAをかけることにより、

であり、は実数なので、
このとき�Bより、となり、という条件に矛盾します。よって、この場合は不適です。

(ii) のとき、�Aより、

より、
�@より、

以上より、行列は単位行列です。

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