京大理系数学'07年前期甲[4]

において、の二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をとする。同様にの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれとする。このとき3直線1Hで交わり、この点Hは三角形の垂心と一致することを証明せよ。

解答 ベクトルで解答することも考えられますが、円周角に目を付ければ、平凡に解決します。

の二等分線、の二等分線,の二等分線は、
1点で交わり、交点は内心です。従って、3直線1Hで交わり、Hの内心に一致します。
また、同一弦の上に立つ円周角は等しいので、



の交点をDとすると、において、


よって、
同様にして、
よって、
3直線の交点Hは、三角形垂心と一致します。
(証明終)

追記 の二等分線、の二等分線,の二等分線が1点で交わることについては、以下のようにして示します。
の二等分線,の二等分線の交点を
Iとし、IからABBCCAに垂線IPIQIRを下ろします。
において、
IB共通、より、
 ・・・@
において、
IC共通、より、
 ・・・A
@,Aより、
これと、
IA共通より、

よって、IAの二等分線であって、の二等分線、の二等分線,の二等分線は1Iで交わります。


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