京大理系数学'07年前期甲[3]

p3以上の素数とする。4個の整数abcdが次の3条件
   
を満たすとき、
abcdpを用いて表せ。

整数の問題、という以前に、まずは、1文字消去から始めるべきでしょう。
dを消去します。
1式より、
 ・・・@

より、
 ・・・A
は整数、pは素数であることから、
(i)
(ii)
のいずれかに限られます。


(i)のとき、,@より、
より、
左から2番目の不等号より、
これは、に矛盾するので不適。


(ii)のとき、 ・・・B
@より、 ・・・C
より、

左側の不等号より、
 ・・・D
右側の不等号より、
 ・・・E
D,Eより、

p3以上の素数なので奇数です。従って、この不等式を満たす整数aは、

に限られます。
Bより、
Cより、


以上より、 ......[]


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