京大理系数学'06年前期[4]

2以上の自然数nに対し、nがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。

解答 n素数となるものを、を除いて書き並べてみます。
のとき、のとき、のとき、のとき、のとき、
こう書いてみると、がいずれも
3の倍数であることに気付きます。を除いて、3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。

のとき、
3の倍数であって、素数ではありません。
のとき、は素数です。

となる素数nについて、n3倍数ではないので、kを整数として、とおくと、に限られます。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。

以上より、nがともに素数となるのはの場合に限られます。


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