京大理系数学'06年前期[3]

関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答 の部分は、点を頂点とする放物線だから(2次関数を参照)
 ・・・@
原点を通るから、@において、として、

よって、の部分は、
 ・・・A

のとき、
よって、における接線は、
 ・・・B
の部分は、Aと原点に関して点対称な放物線なので、Aにおいて、と書き換えて、
 ・・・C
BとCの交点は、B,Cを連立して、



このうち、の部分にある交点のx座標は、

題意の図形のうち、の部分の
面積は、


の部分の面積は、




よって、求める面積は、
......[]


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