京大理系数学'06年前期[2]

Oを原点とする座標空間の3点をABPとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

解答 空間ベクトルの問題です。

線分
AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sを満たす実数として、
 ・・・@
と表せます。
線分
OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kを満たす実数として、
 ・・・A
と表されます。
線分
OPと線分ABが交点を持つとして、交点は@,Aいずれの形にも書けるので、

B+Dより、 ・・・E
C+Dより、 ・・・F
4−E×5より、

Eに代入して、

Dより、

のとき、B,C,D,を満たすskが存在します。
よって、確かに、線分
OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在します。
のとき、@より、交点の座標、即ち、位置ベクトルは、

よって、交点の座標は、 ......[]


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