京大理系数学'06年前期[1]
を2次式とする。整式はでは割り切れないが、はで割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。
解答　多項式の除算の問題です。2次方程式が重解をもつと言っているので、の2解をα，βとおいて、を示すことになります。

は2次式なので、の2解をα，β (α，β は複素数)，として、
　･･･①
と書くことができます。
はで割り切れないので、商を，余り(1次式または0でない定数)をとして、

　･･･②
はで割り切れるので、
因数定理より、
②より、
∴
は、1次式、または、定数なので、より、
と書けます。
∴ または、
のとき、となりますが、これでは、がで割り切れることになり、題意に適しません。
よって、
①より、
よって、2次方程式は重解αを持ちます。

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