京大理系数学'06年前期[1]

2次式とする。整式では割り切れないが、で割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。

解答 多項式の除算の問題です。2次方程式が重解をもつと言っているので、2解をαβとおいて、を示すことになります。

2次式なので、2解をαβ (αβ は複素数)として、
 ・・・@
と書くことができます。
で割り切れないので、商を,余り
(1次式または0でない定数)として、

 ・・・A
で割り切れるので、
因数定理より、
Aより、

は、1次式、または、定数なので、より、
と書けます。
または、
のとき、となりますが、これでは、で割り切れることになり、題意に適しません。
よって、
@より、

よって、2次方程式は重解αを持ちます。


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