京大理系数学'04年前期[2]

とし、で定義された関数を考える。のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をαで表せ。ただし、eは自然対数の底である。

解答 を微分してみてもあまり得るものはありません。の符号を調べればよいでしょう。
としてみると、または
のとき、
のとき、
より、,従って、です。
これより、の符号は、においてにおいてにおいて
のグラフより下側で
x軸より上側の部分というのは、のグラフのの部分とx軸で囲まれる部分ということになります。
よって、求める面積は、

で与えられます。とおくと、xのとき、t置換積分法により、


 (部分積分法)


......[]

置換積分法を利用するのは遠回りになるので時間的には損なのですが、個人的には、このような計算問題では、計算ミスを防ぐことを第一目的とすべきと考えるので、定積分計算ができるだけミスしにくい形になるように、ということで置換積分法でやってみました。


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