京都大学理系2004年前期数学入試問題

京都大学理系2004年前期数学入試問題
[1]　

とする。

における

の最大値および最小値を求めよ。
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[2]　

とし、

で定義された関数

を考える。

のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaで表せ。ただし、eは自然対数の底である。
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[3]　nを2以上の自然数とする。

を

で割った余りを

とする。すなわち、xの多項式

があって

が成り立っているとする。

，

を求めよ。
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[4]　行列A，Bを

，

とする。次の(＊)が成り立つための実数a，bについての必要十分条件を求めよ。

(＊)　どんな2次正方行列Yに対しても、2次正方行列Xで

となるものがある。

[5]　複素数aに対してその共役複素数を

であらわす。aを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが、1，

，aを通るならば、Cは

も通ることを示せ。(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
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[6]　Nを自然数とする。

個の箱があり、1から

までの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号

の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(＊)を、おのおのの

に対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。

(＊)　k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)

操作がすべて終了した後、赤玉が番号

の箱に入っている確率を求めよ。
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