京大理系数学'03年前期[6]

京大理系数学'03年前期[6]

nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて

で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、

勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、nは3以上とする。

解答　考えにくい確率の問題です。

勝1敗になる2チーム(Ａ，Bとします)をnチームの中から選ぶ方法は、

通りあります(組み合わせを参照)。
この2チームの勝敗のパターンは、AがBに勝つ、BがAに勝つ、の2通りあります。
ここで、AがBに勝ったとして、Aは1敗するので、負けた相手をCとします。Cの選び方は、A，B以外の

チームから1チームを選ぶので、

通りあります。

Bは既にAに負けているので、1敗になるためには、Cに勝つことになります。

勝1敗のチームはちょうど2チームしかできないので、Cは、A，B，C以外の

チームのどれか少なくとも1チームには負けていることになります。これは、

チームの全てに勝つという事象の余事象です。この確率は、

です。

さて、Aが特定の1チームにだけ負けて、残りの

チームに勝つ確率は、

勝1敗のとき、Bは既にAに負けているので、Bも

勝1敗となるためには、BはA以外の

チームに全勝します。この確率は、

以上より、求める確率は、

......[答]

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