京大理系数学
'03
年前期
[2]
(
)
とする。点
における
の法線と、
のグラフの
の部分、および
y
軸とで囲まれる図形を考える。この図形を
x
軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
解答
(
微分の公式
を参照
)
従って、接線の傾きは
1
で、法線の傾きは
(
接線・法線の公式
を参照
)
点
における
の法線
l
:
整理して、
l
:
求める体積
V
は、
l
と
x
軸,
y
軸とで囲まれる部分を
x
軸の回りに回転して得られる円錐
(
底円の半径:
π
,高さ:
π
)
の体積
から、
l
と
x
軸,
とで囲まれる部分を
x
軸の回りに回転して得られる円錐
(
底円の半径:
,高さ:
)
の体積
を引き、さらに、
の
の部分を
x
軸の回りに回転して得られる回転体の体積
を引いたものになります
(
定積分と面積
を参照
)
。
(
部分積分法
を参照
)
∴
∴
......[
答
]
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