京都大学理系2003年前期数学入試問題

京都大学理系2003年前期数学入試問題
[1]　正の数からなる数列

が次の条件(i)，(ii)をみたすとき、

を求めよ。

(i)

(ii)

(

)

[2]　

(

)とする。点

における

の法線と、

のグラフの

の部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
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[3]　四面体OABCは次の2つの条件

(i)

，

(ii) 4つの面の面積がすべて等しい

をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
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[4]　多項式

は多項式

で割り切れるか。
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[5]　a，b，c，dを実数とする。2次の正方行列

と2次の単位行列Eに対して、集合

を

とする。このとき次の条件(＊)が成立するための、a，b，c，dについての必要十分条件を求めよ。

(＊)　

の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ

[6]　nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべて

で、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、

勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、nは3以上とする。
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