京大理系数学'02年前期[3]

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は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式の重複も込めた4つの解のうち、2つは整数で2つは虚数であるという。このときa，b，cの値を求めよ。

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解答　4次方程式：の整数解をp，q，虚数解(実数係数の4次方程式なので、互いに共役になる)を，とします(高次方程式を参照)。

4次方程式の各項の係数を比較して、

･･･�@
･･･�A
･･･�B
･･･�C

�@より、 ･･･�D
右辺は整数なので、も整数です。
�Aより、
右辺は整数なので、も整数です。
�Cより、，は1の約数であって、より、 ･･･�E に限られます。従って、です。よって、
(i)
(ii)
の2つの場合を考えればよいことになります。

つまりより、αは単位円上(原点を中心とする半径1の円)の点を表す複素数です。
は、αの実部の2倍なので、より、
但し、のときには、に限られてしまい、このときにはは虚数でなくなってしまいます。従って、 ･･･�F

(i) のとき、

�Dより、
�A，�Eより、
∴
�Bより、
�Fより、
∴
従って整数aは、

のとき、，
のとき、，
のとき、，

(ii) のとき、

�Dより、
�A，�Eより、
∴
�Bより、
�Fより、
∴
従って整数aは、

のとき、，
のとき、，
のとき、，

以上より、

=，，，，， ......[答]

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