慶大理工数学'22年[1]
(1) とする。空間のベクトル，はともに大きさが1であり、，，とする。

(i) p，q，rを実数とし、とするとき、内積との大きさをp，q，rを用いて表すと、，である。

(ii) を満たす実数s，θが存在するような実数zは2個あるが、それらをすべて求めるとである。

(2) n を奇数とする。nとの積が6の倍数であるための必要十分条件は、nをで割ったときの余りがとなることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数をと表す。また、，はを満たす整数である。，を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。
解答　計算が大変にならないように工夫されていて一本道です。あっさり仕上げてしまいましょう。空所補充問題なので、勿論、(2)では十分性の確認は不要です。

(1) ，，，
(i) ......[ア]
∴ ......[イ]

(ii) (i)で、，，，と見ると、
　∴

∴

∴ ， ......[ウ]

(2) mを整数として、とおくと、
が6の倍数なので、kを整数として、

　∴
よって、nを12で割ったときの余りは9です。
逆に、lを整数として、とおくと、

よって、は6の倍数です。
即ち、が6の倍数であるための必要十分条件は、nを12で割ったときの余りが9となることです。12 ......[答]．9 ......[答]


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