慶大理工数学'20年[5]
平行四辺形ABCDにおいて、，とし、対角線ACの長さを4とする。辺AB，BC，CD，DA上にそれぞれ点E，F，G，Hをを満たすようにとる。ただし、xはの範囲を動くとする。さらに、対角線AC上に点Pをを満たすようにとる。以下では、平行四辺形ABCDの面積をSとする。

(1) △AEPの面積をとする。は、xを用いて表すととなる。

(2) △EFPの面積をとする。は、のとき最大値をとる。

(3) △GHPの面積をとする。となるのはのときである。

(4) 点Pが線分EH上にあるのはのときである。
解答　標準的な計算問題です。

(1)(テ) △ABCの面積は、です。これより、
∴ ......[答]

(2)(ト) △BEF，△CFPの面積を，とすると、(1)と同様にして、



とおくと(3次関数の最大最小を参照)、

x0

2
0＋0－
00

増減表より、が最大になるのは、 ......[答]　のとき。
(ナ) 最大値は、 ......[答]

(3)(ニ) △AHP，△CGP，△DGHの面積を，，とすると、




より、
注．組み立て除法をやってみると、

あとは、と因数分解します。
より、 ......[答]

(4)(ヌ) 　･･･②　(ベクトルの1次独立を参照)
Pが線分EH上にあるとき、，，として、
　･･･③　(平面ベクトルの応用を参照)
②，③の，の係数を比較して、
，
，
より、

より、，このとき、は、より、を満たすので、 ......[答]


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