慶大理工数学
'12
年
[5]
とし、
x
の
3
次関数
を
と定める。また、
に対し、曲線
と
x
軸および
2
直線
,
で囲まれた部分の面積を
で表す。
(1)
ト
である。
(2)
は
ナ
で極小値をとる。曲線
上にあり、
x
の値
ナ
に対応する点を
P
とする。
a
の値が変化するとき、点
P
の軌跡は曲線
ニ
(
)
である。
(3)
を満たす正の実数
t
が存在するような
a
の値の範囲を不等式で表すと
ヌ
となる。以下、
a
の値はこの範囲にあるとする。
c
を
を満たす最大の正の実数とする。区間
における
の最大値、最小値をそれぞれ
,
とするとき、
ネ
となる。
解答
3
次関数
に対して、
は
2
次関数となります
(
微分
を参照
)
。
のグラフの軸の位置を
として、
は
に関して対称なので、
として、
が成り立ちます。これを使うと、
(
定積分
を参照
)
となるので、
より、
∴
が成り立ちます。これは、
3
次関数のグラフが変曲点
について対称であること ・・・
(
*
)
を意味します。以下
(3)
の解答では、これを応用してみます。
(1)(
ト
)
・・・@
......[
答
]
(2)(
ナ
)
とすると、
・・・A
・・・B
x
a
+
0
−
0
+
増減表より、
は、
......[
答
]
において、極小値をとります
(
3
次関数の増減
を参照
)
。
(
ニ
)
点
P
の
x
座標、
y
座標は、
,
これより
a
を消去して、
......[
答
]
(
)
(3)(
ヌ
)
より、
∴
,
を満たす正の実数
t
が存在するので、
とおくと、
が
2
実数解をもち、このために、
判別式:
(
2
次方程式の一般論
を参照
)
∴
・・・C
が必要です。このとき、放物線
の軸
(
)
なので、
は正の解をもち、確かに
を満たす正の実数
t
が存在します
(
2
次方程式の解の配置
を参照
)
。
......[
答
]
(
ネ
)
Cのとき、
は重解も含めて正の解を
2
個もち、そのうちの大きい方が
c
です。@より、
2
次方程式
の判別式
について、
Cが成立するとき、
,
,
なので、
2
次方程式
は、
の範囲に相異なる
2
実数解
α
,
β
(
)
をもちます。
において
,
において
,
において
より、
において
極大、
において
極小です。
また、
2
次方程式
における
解と係数の関係
より、
・・・D
ここで、もし、
であれば、
となる正の実数
t
が存在しなくなるので、
です。つまり、
なので
です
(3
次関数
のグラフを描いて考えてください
)
。また、
における
の最小値
は
です。
においては
は増加なので、
であって、
なので、
における
の最大値
は
です。以上より、
となります。
は
3
次関数なので、上記
(
*
)
のように、
のグラフはその変曲点に関して対称です。
より、
とすると、
,従って、
・・・E
において、
(
)
とおくと、Dを用いて、
のとき
,
のとき
より、
(
∵
Eにおいて、
とします
)
∴
(=
一定
)
また、Eにおいて、
とすることにより、A,Bを用いて、
......[
答
]
慶大理工数学
TOP
数学
TOP
TOP
ページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©
2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾
随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾
苦学楽学塾
(ご案内は
こちら
)ご入会は、
まず、
こちらまでメール
をお送りください。
雑誌「
大学への数学
」出版元