慶大理工数学'12[5]

とし、x3次関数
と定める。また、に対し、曲線x軸および2直線で囲まれた部分の面積をで表す。
(1)  ト である。
(2)  ナ で極小値をとる。曲線上にあり、xの値 ナ に対応する点をPとする。aの値が変化するとき、点Pの軌跡は曲線 ニ  ()である。
(3) を満たす正の実数t が存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと ヌ となる。以下、aの値はこの範囲にあるとする。cを満たす最大の正の実数とする。区間におけるの最大値、最小値をそれぞれとするとき、 ネ となる。

解答 3次関数に対して、2次関数となります(微分を参照)のグラフの軸の位置をとして、に関して対称なので、として、が成り立ちます。これを使うと、
 (定積分を参照)
となるので、

より、

が成り立ちます。これは、
3次関数のグラフが変曲点について対称であること ・・・()
を意味します。以下(3)の解答では、これを応用してみます。

(1)()



 ・・・@
......[]

(2)()

とすると、
 ・・・A
 ・・・B
x
a

00

増減表より、は、 ......[] において、極小値をとります(3次関数の増減を参照)
() Px座標、y座標は、
これよりaを消去して、 ......[] ()

(3)() より、

を満たす正の実数
t が存在するので、
とおくと、2実数解をもち、このために、
判別式:


 (2次方程式の一般論を参照)
 ・・・C
が必要です。このとき、放物線の軸
()
なので、は正の解をもち、確かにを満たす正の実数t が存在します(2次方程式の解の配置を参照)
......[]
() Cのとき、は重解も含めて正の解を2個もち、そのうちの大きい方がcです。@より、
2次方程式の判別式について、
Cが成立するとき、
なので、2次方程式は、の範囲に相異なる2実数解αβ ()をもちます。においてにおいてにおいてより、において極大、において極小です。
また、
2次方程式における解と係数の関係より、
 ・・・D
ここで、もし、であれば、となる正の実数t が存在しなくなるので、です。つまり、なのでです(3次関数のグラフを描いて考えてください)。また、におけるの最小値です。
においてはは増加なので、であって、なので、におけるの最大値です。以上より、
となります。3次関数なので、上記()のように、のグラフはその変曲点に関して対称です。より、とすると、,従って、
 ・・・E
において、 ()とおくと、Dを用いて、のときのときより、
 ( Eにおいて、とします)
(= 一定)
また、Eにおいて、とすることにより、A,Bを用いて、
......[]


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