慶大理工数学'11[B1]

座標空間で次の8つの点
ABCD
E
FGH
を頂点とする1辺の長さ2の立方体ABCD-EFGHを考える。いま、点Pを正方形EFGH内の点(辺上も含む、ただし)とし、点Aと点Gを通る直線をとする。
(1) Qを直線上の点で (t は実数)を満たすものとする。が直交するときt xyで表すととなる。
(2) Pから直線に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあることを証明せよ。
(3) Pが原点Oを中心とするxy平面上の半径1の円周上を動くとし、Pの座標を ()と書くことにする。このとき、三角形APGの面積の最大値と最小値、およびそれらを与えるθ の値を求めよ。求める過程も書け。

解答 (3)では、図形的に見ていくことも可能ですが、素直に計算でやってみます。腕尽く計算だとかなり面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) 直交するので、当然、内積を考えます。

 (直線のベクトル方程式を参照)
より、


(
) ......[]

(2) Pは正方形EFGH内の点であることから、
ただし、より、
よって、

より、点Pから直線に下ろした垂線の足は点Aと点Gの間にあります。
(証明終)

(3) PからAGに垂線PQを下ろすと、(1)で、とすることにより、




とおくと、より、

 (2倍角の公式を参照)
これより、
 (2次関数の最大最小を参照)
三角形APGの面積は、AGを底辺と見ると、高さPQが最大のとき最大、高さPQが最小のとき最小で、より、
,つまり、のとき、は最大値をとり、このとき、三角形
APGの面積は最大値をとります。
,つまり、のとき、は最小値をとり、このとき、三角形
APGの面積は最小値をとる。
最大値:
(のとき),最小値: (のとき) ......[]


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