慶大理工数学'11[A1]

(1) とする。定積分
の値はである。
(2) kを実数とする。座標平面上で、点を直線に関して対称移動した点をとすると
が成り立つ。
(3) 負でない実数を満たすものが与えられているとき、数列を次のように定める。に対してを大きさの順に並べ、大きい順にとする。たとえばとするとき、であり、である。
次に、はどれも0ではなくが満たされているとする。このときである。

解答 (2)はよくある問題ですが、(3)は少し面倒です。

(1)()  (部分積分法を参照)




......[]

(2)(i) のとき、直線x軸です。x軸に関して対称移動させるとに来ます(1次変換を参照)。よって、
 ・・・@
(ii) のとき、です。
の中点は直線上の点です。
 ・・・A
を結ぶ直線は直線と直交するので、傾きについて、
 (2直線の平行と垂直を参照)
 ・・・B
A,Bを行列を用いて書くと、
左から、をかける(逆行列を参照)と、
この結果は@を含んでいます。
()  ()  ()  () ......[]

(3) より、を大きさの順に並べて、
を大きさの順に並べて、
() 9 () 3 ......[]
()のとき、とおくと、,また、です。
に注意して、以下の3通りに限られます。
(i) のとき、を第3式に代入すると、


整理して、
より、
(ii) のとき、
を第3式に代入すると、
となってしまうため、この場合はあり得ません。
(iii) のとき、第1式と第2式より、
より
この場合もあり得ません。
よって、(i)より、
であることから、より、,・・・,
 (等比数列を参照)
() ......[]


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