慶大理工数学
'10
年
[A3]
座標平面上において、以下の設問
(1)
,
(2)
,
(3)
のように図形
S
と点
P
を考える。図形
S
上を点
Q
が動くとき、線分
PQ
の長さの最小値を
と表す。
(1)
方程式
の表す図形を
S
とする。点
P
について
である。また、
を満たす点
P
全体が描く図形は、不等式
の表す領域と一致する。
(2)
方程式
の表す図形を
S
とする。点
P
について
である。また、
を満たす点
P
全体が描く図形の面積は
である。
(3) 2
つの式
の表す図形を
S
とする。
を満たす点
P
全体が描く図形を図示しなさい。
解答
論述式であれば、どう論述するか悩む点があるかも知れませんが、空所を補充して図形を図示するだけなので、わざわざ面倒なことを考える必要はないでしょう。
(1)(
ス
)
点
P
と直線
上を動く点
Q
との距離の最小値は、点
P
と直線
との距離にほかなりません。
点と直線の距離の公式
より、
......[
答
]
(
セ
)(
ソ
)
を満たす点
P
は、直線
との距離が
1
以下となる点で、
∴
絶対値を外すと、
(
不等式と領域
を参照
)
∴
(
セ
) 3
(
ソ
)
......[
答
]
(2)(
タ
)
点
P
と円周
上を動く点
Q
との距離の最小値は、点
P
と円周の中心
との距離から円周の半径を引いたものに等しく、
......[
答
]
(
チ
)
を満たす点
P
は、円周
上の点から距離
1
以下の点ですが、点
P
が描く図形は、原点を中心とする半径
の円周から外側であって、かつ、原点を中心とする半径
の円周から内側となる図形で、その面積は、
......[
答
]
(3)
図形
S
は
x
軸の原点から右の部分です。
を満たすのは、
かつ
となる部分、または、原点を中心とする半径
1
の円の内側となる点で、図示すると右図黄緑色着色部
(
境界線を含む
)
。
追記.論述する場合には、媒介変数表示を利用するのがよいでしょう。
(1)
点
P
について、直線
上の点を
Q
(
t
は実数
)
として、線分
PQ
の長さは、
(
等号成立は
のとき。
2
次関数の最大最小
を参照
)
より、
点
P
が
のとき、
のとき、
(2)
点
P
について、円周
上の点を
Q
(
)
として、線分
PQ
の長さは、
(
,
,
三角関数の合成
を参照
)
(
等号成立は、
のとき
)
より、
(
原点と
P
との距離から半径を引いたもの
)
点
P
が
のとき、
のとき、
∴
(3)
S
上の点は
Q
(
)
と表せます。
P
のとき、線分
PQ
の長さは
です。
より、
(i)
のとき、線分
PQ
の長さは、
のときに最小値
(ii)
のとき、線分
PQ
の長さは、
のときに最小値
よって、
を満たすのは、
(i)
のとき、
,即ち、
(ii)
のとき、
,即ち、
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