慶大理工数学'09[B1]

xy平面上において円Cと直線lを考える。
(1) 行列で表される1次変換によって、円Cはどのような図形に移るか。理由をつけて答えなさい。
(2) Cと直線lとの交点の座標は( ヒ  フ )( ヘ  ホ )である。
(3) Cを円Cに移し、直線lを直線lに移す1次変換を表す行列をすべて求めなさい。求める過程も示すこと。

解答 (1)は行列をの形に書き換えると、反時計回りに角θ回転し、k倍の拡大を行う変換であることがわかります。
(3)は、直交変換と呼ばれる1次変換を扱う問題です。1次変換(その2)の直交変換の記述を参照してください。

(1)
で表される1次変換は、反時計回りに角回転し倍の拡大を行います。よって、円Cは半径が倍の円:に移ります。

(2) Cl
を連立して、
(複号同順)
C
lの交点は、
()()()()は順に、 ......[]

(3) Aの表す1次変換が直線l上の点 (t は任意の実数)を直線l上に移すので、
l上の点で、
t は任意の実数なので、
 ・・・@
Aの表す1次変換が円C上の点を円C上に移すので、
も円C上の点で、

これが、に一致するために、xyに依存しない定数abcdについて、
 (内積を参照)
()とおくと、より、
 
(x成分とy成分を入れ替え、y成分にマイナスをつけてk倍した)
とおけますが、

よって、
(複号同順)
(i) (ii) 2つの場合があります。
(i) のとき、@より、

,但し、 (三角関数の合成を参照)

のとき、
のとき、
(ii) のとき、@より、
のとき、
のとき、
以上より、 ......[]
注.(2)を利用して、Aの表す1次変換により、Clの交点がClの交点に移る、として、以下のように解答することもできます。
Aの表す1次変換を施すと、
に移りますが、これもまた、の正負のどちらかなので、
 ・・・A
また、円C上の点Aの表す1次変換により、また円C上に移るので、
より、
 ・・・B
A,Bを連立することにより、abcdが求められます。


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